概率基础：从随机变量到无人机路径规划中的随机采样

路径规划里的不确定性无处不在：GPS 和传感器的读数每次都不一样，障碍物位置只是估计值，RRT 靠随机采样扩展，采样式算法的理论保证也只是“采样越多，找到解的概率越大”。描述这些问题需要概率论，但入门阶段只需要掌握一条主线：

一、概率、样本空间与事件

概率描述某件事发生的可能性，记作 $P(A)$ ，其中 $A$ 是一个事件。它满足

$0\leq P(A)\leq1,$

$P(A)=0$ 表示几乎不可能发生， $P(A)=1$ 表示必然发生。例如抛一枚均匀硬币， $A=\{\text{出现正面}\}$ ，则 $P(A)=0.5$ 。

描述概率需要三个基本概念：

概念	含义	例子
随机试验	可以重复，但单次结果无法提前确定	测量静止无人机的位置，GPS 依次读到 10.02、9.98、10.01 m
样本空间 $\Omega$	所有可能结果组成的集合	抛硬币 $\Omega=\{\text{正},\text{反}\}$ ；骰子 $\Omega=\{1,\dots,6\}$
事件	样本空间中关心的那部分结果	骰子掷出偶数： $A=\{2,4,6\}$

测量连续位置时 $x\in\mathbb R$ ，样本空间有无穷多个结果。

二、条件概率与独立性

条件概率 $P(A\mid B)$ 表示已知 $B$ 发生后， $A$ 发生的概率：

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0.$

直观地说，条件概率就是用新信息缩小讨论范围，再重新计算概率。例如一个班有 100 名学生，其中男生 60 人、女生 40 人，戴眼镜的男生 12 人。随机选一人：

$P(\text{戴眼镜且男生})=\frac{12}{100}.$

如果已知选中的是男生，范围就缩小到 60 人：

$P(\text{戴眼镜}\mid\text{男生})=\frac{12}{60}.$

两个事件互不影响时称为独立，此时

$P(A\cap B)=P(A)P(B).$

例如连续抛两次硬币，第一次的结果不影响第二次，两次都是正面的概率为 $\frac12\times\frac12=\frac14$ 。

三、随机变量与概率密度

随机变量可以理解为带有不确定性的数字，通常用大写字母 $X,Y,Z$ 表示。例如令 $X$ 为 GPS 测得的无人机 $x$ 坐标，一次测量可能是 $X=10.01$ ，下一次可能是 $X=9.97$ 。它不是一个确定的数，每次试验都可能取不同的值。

随机变量分为两类：

离散随机变量的取值可以逐个列出，例如骰子 $X\in\{1,2,3,4,5,6\}$ ，可以直接讨论 $P(X=1)$ 、 $P(X=2)$ 等；
连续随机变量的取值连续，例如位置、速度、距离， $X\in\mathbb R$ 。此时单点概率没有意义，关心的是区间概率，例如 $P(9.9<X<10.1)$ 。

连续随机变量用概率密度函数 $p(x)$ 描述。曲线越高，随机变量越容易落在附近。密度本身不是概率，区间 $[a,b]$ 的概率是曲线下的面积：

$P(a<X<b)=\int_a^b p(x)\,dx, \qquad \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\,dx=1.$

左图：均值为 10 的高斯密度曲线，9 到 11.5 之间的阴影面积就是该区间的概率；右图：均值相同、标准差分别为 0.6 和 2 的两条高斯曲线

四、期望、方差与标准差

期望 $E[X]$ （常记为 $\mu$ ）是随机变量长期平均意义上的中心。例如传感器反复测量一个真实位置为 10 m 的物体，读数 9.98、10.02、10.01、9.99、10.03 都围绕 10 波动，可能有 $E[X]=10$ 。

只有期望还不够。两个传感器的读数如下：

传感器	读数
A	9.99、10.01、10.00、9.98、10.02
B	7、13、8、12、10

两者均值都接近 10，但 A 明显更稳定。描述数据有多分散需要方差：

$\operatorname{Var}(X)=E[(X-\mu)^2],\qquad \mu=E[X].$

$X-\mu$ 是单次结果偏离中心的距离。偏差有正有负，例如 $12-10=2$ 、 $8-10=-2$ ，直接平均会互相抵消；平方后都等于 4，才能反映真实的偏离程度。方差越小，数据越集中；方差越大，数据越分散。

标准差是方差的平方根：

$\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.$

它和原变量的单位相同，因此比方差更直观。

五、三个常用分布

Bernoulli 分布描述只有两种结果的试验，例如碰撞/不碰撞、检测到/没检测到：

$X= \begin{cases} 1,&\text{成功}\\ 0,&\text{失败} \end{cases}$

均匀分布 $X\sim U(0,10)$ 表示 $X$ 在区间 $[0,10]$ 内每个位置被抽到的机会相同，采样式路径规划中最常用。

高斯分布（也叫正态分布）是机器人领域最重要的分布：

$X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2).$

均值 $\mu$ 决定曲线中心的位置，例如 $X\sim\mathcal N(10,\sigma^2)$ 集中在 10 附近；方差 $\sigma^2$ 决定曲线的宽度（见上图右侧）。一句话概括：均值说明“在哪里”，方差说明“有多不确定”。

六、随机向量与协方差

无人机的状态通常是向量。如果三维位置的每个分量都有不确定性，就得到随机向量，它的期望也是向量：

$X= \begin{bmatrix} X_x\\ X_y\\ X_z \end{bmatrix}, \qquad \mu=E[X]= \begin{bmatrix} 10\\ 5\\ 2 \end{bmatrix}.$

这表示无人机大约位于 $(10,5,2)$ ，但位置并不完全确定。

方差描述单个变量自身的波动，协方差描述两个变量是否一起变化：

$\operatorname{Cov}(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])].$

$\operatorname{Cov}(X,Y)>0$ ： $X$ 增大时 $Y$ 往往也增大；
$\operatorname{Cov}(X,Y)<0$ ： $X$ 增大时 $Y$ 往往减小；
$\operatorname{Cov}(X,Y)\approx0$ ：没有明显的线性共同变化趋势。

协方差只反映线性关系，协方差为零不代表两个变量无关。下图右侧的点分布在一个圆环上，协方差接近零，但知道 $x$ 就能大致推出 $y$ 离中心多远。

三幅散点图：协方差为正时点云沿右上方倾斜，为负时沿右下方倾斜，接近零时点分布在圆环上；前两幅叠加了 1σ 和 2σ 误差椭圆

七、协方差矩阵与误差椭圆

随机向量的方差和协方差排成一个矩阵，称为协方差矩阵。以二维为例：

$\Sigma= \begin{bmatrix} \operatorname{Var}(X_1) & \operatorname{Cov}(X_1,X_2)\\ \operatorname{Cov}(X_2,X_1) & \operatorname{Var}(X_2) \end{bmatrix}, \qquad \text{例如}\quad \Sigma= \begin{bmatrix} 4&1\\ 1&2 \end{bmatrix}.$

对角线 4 和 2 分别是 $X_1$ 、 $X_2$ 的方差，即每个方向各自的不确定程度；
非对角线 1 是两个变量的协方差，即它们如何一起变化。

协方差矩阵有直观的几何意义。假设无人机位置估计为 $\mu=[5,\ 3]^\top$ ，大量可能的真实位置会围绕均值形成一团点云，等概率轮廓是一个椭圆，称为误差椭圆。椭圆的大小、方向和扁平程度都由协方差矩阵决定，上图左侧就是这个 $\Sigma$ 对应的点云和椭圆。

八、多元高斯分布

把一维高斯推广到向量 $X\in\mathbb R^n$ ：

$X\sim\mathcal N(\mu,\Sigma),$

其中 $\mu$ 是均值向量， $\Sigma$ 是协方差矩阵。例如

$p\sim\mathcal N\left( \begin{bmatrix} 10\\ 5\\ 2 \end{bmatrix}, \Sigma \right)$

表示无人机最可能在 $(10,5,2)$ 附近，不确定性的大小和方向由 $\Sigma$ 描述。

九、贝叶斯公式

$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}.$

入门时不必急于推导，重点是它背后的思想：用新的观测修正原来的判断。例如无人机原本估计自己在 $x\approx10$ ，传感器测得 $z=10.2$ ，把之前的估计和新测量结合，就得到更新后的位置判断。状态估计、Kalman Filter、SLAM 都建立在这个思想上。

十、随机采样与 RRT

随机采样是按某个概率分布随机生成数据。例如按 $X\sim U(0,10)$ 依次采样，可能得到 $2.7,\ 8.1,\ 4.3,\ 0.9,\dots$ 。在二维空间中分别采样 $x\sim U(0,10)$ 、 $y\sim U(0,10)$ ，就得到随机点

$q= \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}.$

不断采样后，点会大致均匀地铺满整个区域，这是采样式路径规划的基础。

RRT 每一轮先在状态空间或构型空间 $\mathcal X$ 中随机取一个点：

$q_{\mathrm{rand}}\sim\mathcal X,$

再找到搜索树中离它最近的节点 $q_{\mathrm{near}}$ ，从 $q_{\mathrm{near}}$ 朝 $q_{\mathrm{rand}}$ 扩展。所以 RRT 的“随机”就是概率论中的随机采样，具体过程见《RRT 搜索树逐步推导》。

十一、概率完备性

RRT、PRM 等采样式方法的理论保证叫概率完备性：如果问题在相应条件下存在可行解，随着采样数量 $N$ 增加，找到解的概率趋近于 1：

$P(\text{找到可行解})\rightarrow1,\qquad N\rightarrow\infty.$

这并不表示算法在有限时间内一定能找到路径。“概率趋近于 1”和“必然发生”是两回事：采样 100 次没找到很正常，采样 10000 次机会更大，采样越多，失败概率越小，但始终不为零。

十二、Monte Carlo 与大数定律

Monte Carlo 方法的思想是：问题难以直接计算时，就随机模拟很多次，用统计结果近似答案。

例如要估计某条轨迹因定位误差发生碰撞的概率，可以按位置误差的分布随机采样 $p_1,p_2,\dots,p_N$ ，逐一检查是否碰撞。若 10000 次实验中有 320 次碰撞，则

$P(\text{collision})\approx\frac{320}{10000}=0.032,$

即约 $3.2\%$ 。

这种做法的依据是大数定律：对独立实验 $X_1,X_2,\dots,X_N$ 取平均

$\bar X=\frac1N\sum_{i=1}^{N}X_i,$

$N$ 越大， $\bar X$ 通常越接近期望 $E[X]$ 。实验次数越多，偶然性越容易被平均掉：10 次实验的结果可能波动很大，100000 次实验的统计结果就稳定得多。入门阶段理解这一直觉即可，不必研究严格证明。

左图：在 10×10 区域内均匀采样 160 个点，落在障碍物内的点被丢弃；右图：三次独立的 Monte Carlo 估计随实验次数增加逐渐收敛到真实碰撞概率 0.032

十三、与线性代数的联系

概率论和线性代数联系紧密。协方差矩阵 $\Sigma$ 满足

$\Sigma=\Sigma^\top,\qquad \Sigma\succeq0,$

即协方差矩阵是对称半正定矩阵。对称矩阵、特征值与特征向量、正定与半正定、二次型等概念都会在概率模型中再次出现。例如二次型

$(x-\mu)^\top\Sigma^{-1}(x-\mu)$

衡量点 $x$ 离分布中心有多“远”，它的等值线正是上面的误差椭圆或椭球，椭圆的主轴方向就是 $\Sigma$ 的特征向量。相关内容见《线性代数》和《矩阵分解》。

十四、容易混淆的概念

容易混淆	正确理解
概率与概率密度	概率满足 $0\leq P(A)\leq1$ ；密度 $p(x)$ 可以大于 1，积分后才是概率
期望与“一定出现的值”	骰子 $E[X]=3.5$ ，但永远掷不出 3.5；期望只是平均意义上的中心
方差大小	$\mathcal N(10,0.01)$ 与 $\mathcal N(10,100)$ 均值相同，后者分散得多
方差与协方差	$\operatorname{Var}(X)$ 描述单个变量的波动； $\operatorname{Cov}(X,Y)$ 描述两个变量如何共同变化
随机与无规律	单次结果不可预测，但大量结果有稳定的统计规律，这正是概率论研究的对象

十五、学到什么程度就够了

能自然地回答下面的问题，概率基础就足以支撑采样式运动规划的学习：

随机变量和普通变量有什么区别？
$E[X]$ 和 $\operatorname{Var}(X)$ 分别表示什么？有了均值为什么还需要方差？
$X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ 和 $X\sim\mathcal N(\mu,\Sigma)$ 是什么意思？
$\operatorname{Cov}(X,Y)$ 描述什么？协方差矩阵 $\Sigma$ 的对角线与非对角线分别代表什么？
RRT 中的 $q_{\mathrm{rand}}$ 为什么叫随机采样点？
为什么 $P(\text{找到路径})\rightarrow1$ 不能理解成“有限时间内一定找到路径”？

建议的学习顺序与重要程度：

顺序	内容	重要程度
1–4	随机试验、样本空间、事件；概率基本规则；条件概率；独立性	基础到重点
5–7	随机变量；离散与连续随机变量；概率密度	非常重要
8–9	期望；方差与标准差	非常重要
10–11	均匀分布；高斯分布	非常重要
12–14	随机向量；协方差与协方差矩阵；多元高斯	非常重要
15	贝叶斯思想	理解
16–17	随机采样；Monte Carlo	非常重要
18	概率完备性的直觉	结合路径规划学习