多旋翼无人机路径规划：理论学习路线

这篇文章整理了多旋翼无人机路径规划的理论学习顺序：从运动规划的基本概念出发，逐步学习多旋翼动力学、轨迹表示、动力学约束规划、轨迹优化，以及滚动规划与安全性分析。

学习范围先限定为常规固定桨轴多旋翼的单机三维运动规划，从已知静态环境入手，再扩展到未知环境、动态障碍和多机协同。

每个阶段开头列出了本系列中对应的文章，可以边看路线边读具体推导。

一、总体学习路线

1. 学习顺序

这个顺序可以根据已有基础调整：数学和优化可以边学边补；图搜索与采样规划可以对照学习；理解多旋翼动力学后，可以同时学习轨迹生成与最优控制。

2. 各阶段的学习重点

阶段	核心问题	重点理论与算法
1. 数学基础	如何表达、求导和分析规划问题？	二次型、矩阵分解、微积分、微分方程、数值条件性
2. 最优化	如何求解目标与约束构成的数学问题？	凸性、KKT、QP、Newton、L-BFGS、SQP
3. 规划建模	在什么空间中规划，怎样表达障碍？	构型空间、障碍膨胀、体素地图、距离场、碰撞检测
4. 图搜索	如何在离散图中寻找低代价路径？	Dijkstra、A*、启发函数、增量搜索
5. 采样规划	如何用有限采样探索连续空间？	PRM、RRT、RRT*、概率完备性、渐近最优性
6. 动力学与平坦性	几何运动如何对应飞行器状态与输入？	刚体动力学、姿态表示、欠驱动、微分平坦性
7. 轨迹表示	如何构造带时间且足够平滑的运动？	分段多项式、Minimum Jerk / Snap、Bézier、B 样条
8. 动力学搜索	搜索时如何同时考虑运动状态与输入？	运动基元、状态传播、Kinodynamic A*、边值问题
9. 避障优化	如何联合处理平滑性、障碍与动力学限制？	距离罚函数、ESDF-free 思路、安全飞行走廊
10. 高效参数化	如何降低轨迹优化维度并联合优化时间？	MINCO、带状线性系统、梯度传播、时间分配
11. 最优控制	如何把参考轨迹与反馈执行联系起来？	LQR、直接法、MPC、递归可行性
12. 重规划与安全	局部可行解怎样衔接为持续安全的运动？	滚动规划、轨迹拼接、备用轨迹、不变性

其中，多旋翼动力学与微分平坦性、连续轨迹生成、动力学约束搜索、避障轨迹优化、时空联合优化和滚动规划安全性，是后续学习的主线。

二、第一阶段：数学与数值计算基础

本系列对应文章：线性代数、矩阵分解、多元微积分、微分方程与状态空间、概率论

1. 重点理论

模块	需要掌握的内容	与后续学习的联系
线性代数	向量空间、二次型、特征值、正定与半正定、稀疏矩阵	表达平滑代价、动力学与约束
矩阵分解	LU、QR、Cholesky、SVD、最小二乘	理解线性系统的求解条件与数值稳定性
多元微积分	梯度、Jacobian、Hessian、链式法则、Taylor 展开	推导目标函数与约束的导数
微分方程	状态空间模型、线性化、离散化、初值问题	描述运动与状态传播
概率基础	条件概率、随机变量、高斯分布、协方差、随机采样	理解采样规划与不确定性建模
数值分析	条件数、变量尺度、正则化、舍入误差、有限差分	理解数学问题与数值求解之间的差异

2. 关键公式与推导

理解二次函数

$$f(x)=\frac{1}{2}x^\top Qx+c^\top x$$

在 $Q=Q^\top$ 时满足

$$\nabla f(x)=Qx+c,\qquad \nabla^2f(x)=Q.$$

重点理解 $Q\succeq0$、$Q\succ0$ 与凸性、严格凸性的关系，以及约束如何影响解的存在性和唯一性。

3. 思考题

• 为什么不宜默认通过显式求逆来求解线性方程组？
• 问题本身的病态与求解方法的数值不稳定有什么区别？
• 轨迹时间尺度为何会影响多项式矩阵的条件数？

相关阅读：最优化教材中的数学预备章节。[1][2]

三、第二阶段：最优化理论与数值优化方法

1. 先学习问题性质，再学习求解方法

重点掌握凸集、凸函数、局部最优与全局最优、等式与不等式约束、拉格朗日函数、KKT 条件和对偶性。

区分线性规划（LP）、二次规划（QP）、二阶锥规划（SOCP）与一般非线性规划（NLP）。这些是问题类别；Newton、SQP 和内点法等是求解方法，不能混为一类。

2. 重点算法

方法	重点掌握的原理
梯度下降	下降方向、步长、收敛条件与变量尺度
Newton 法	二阶局部模型、Hessian、局部收敛与全局化策略
Gauss–Newton	非线性最小二乘结构与 Hessian 近似
BFGS / L-BFGS	割线条件、曲率近似、有限内存思想
线搜索与信赖域	如何控制局部近似的有效范围
SQP	将非线性约束问题逐步近似为二次规划
罚函数与增广拉格朗日	如何处理约束违反，以及罚参数的影响
内点法	障碍函数、可行域内部迭代与中心路径

3. 关键推导：等式约束二次规划

考虑

$$\min_x\;\frac12x^\top Qx+c^\top x, \qquad Ax=b.$$

从拉格朗日函数推导一阶条件：

$$\begin{bmatrix} Q&A^\top\\ A&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -c\\b \end{bmatrix}.$$

进一步理解约束可行性、$A$ 的秩、$Q$ 在可行方向上的正定性与解的唯一性之间的关系。[2]

4. KKT 条件的适用范围

KKT 条件的必要性需要相应正则性条件；在凸问题中，满足适当条件的 KKT 点可用于判定全局最优。非凸问题中的驻点不能直接等同于全局最优。[2]

相关阅读：《Convex Optimization》；非线性优化内容结合轨迹优化讲义阅读。[2][3]

四、第三阶段：规划问题建模、构型空间与环境表示

本系列对应文章：构型空间、地图与碰撞检测

1. 区分路径、轨迹与控制

概念	数学对象	回答的问题
几何路径	$q(s),\ s\in[0,1]$	从哪里经过？
时间轨迹	$x(t),\ t\in[0,T]$	何时到达，以怎样的状态运动？
控制输入	$u(t)$	如何通过动力学产生该运动？

学习如何明确起终条件、目标集合、状态空间、控制空间、代价函数和可行域。[1]

2. 构型空间与障碍表示

重点掌握构型空间、自由空间、障碍空间、Minkowski 和、机器人包络与障碍物膨胀。

对于固定形状且只考虑平移的机器人，障碍区域可通过与机器人形状的反射集做 Minkowski 和来构造。使用球形保守包络可以简化姿态相关碰撞问题，但会引入保守性；非球形包络随姿态旋转时，不能随意忽略姿态对碰撞的影响。[1]

3. 地图与碰撞检测

重点学习占据栅格、三维体素、八叉树、距离场，以及已知空闲、已占据、未知区域的区别。理解 TSDF 的截断表面距离信息与 ESDF 的欧氏距离信息不能简单互换。

碰撞检测应覆盖点、线段、曲线段与机器人包络。重点关注离散检查与连续时间安全判断之间的区别。[1][8][9]

4. 思考题

• 为什么无人机中心不碰撞，并不代表机体不碰撞？
• 为什么未知区域不能自动视为空闲？
• 为什么轨迹上的有限个采样点安全，并不能直接证明整段轨迹安全？

五、第四阶段：图搜索算法

本系列对应文章：从 Dijkstra 到 A*

1. 优先掌握 Dijkstra 与 A*

A* 的核心评价函数为

$$f(n)=g(n)+h(n),$$

其中 $g(n)$ 表示已找到的起点到当前节点的路径代价，$h(n)$ 估计剩余代价。

重点理解启发函数的可采纳性与一致性：

$$h(n)\le h^*(n),$$

$$h(n)\le c(n,n')+h(n').$$

应结合非负边代价、节点重开策略与终止条件，理解不同 A* 版本的最优性条件，而不是仅记住“使用启发函数就能保证最优”。[1]

2. 算法学习顺序

顺序	算法	理论重点
1	Dijkstra	最短路径、松弛操作、代价有序扩展
2	A*	启发函数、可采纳性、一致性、最优性条件
3	JPS	规则栅格上的对称路径裁剪与适用条件
4	Theta*	视线连接与任意角路径
5	LPA* / D* Lite	图中代价变化后的增量修复

其中 Dijkstra 与 A* 是主线，其余方法用于理解搜索加速、路径表达和增量更新的不同思路。

3. 思考题

• 图上的最优路径与连续空间中的最优路径有什么区别？
• 网格分辨率和邻接规则如何改变搜索问题？
• 为什么增量修复地图中的边代价，还不能解决动态障碍的时间冲突问题？

相关阅读：《Planning Algorithms》的离散规划与搜索相关内容。[1]

六、第五阶段：采样式运动规划

本系列对应文章：RRT、RRT*

1. 重点算法

算法	核心思想	重点理解
PRM	用采样点和局部连接构建路线图	多次查询、图连通性与局部规划器
RRT	通过随机采样扩展搜索树	最近邻、扩展策略、Voronoi 偏置
RRT-Connect	双向树交替扩展与连接	两棵树的连接方式及连接可行性
RRT*	选择更优父节点并重连邻域	邻域规模、代价传播与渐近最优性
Informed RRT*	利用已有解限制有改善潜力的采样区域	代价下界与采样区域的关系，作为扩展阅读

2. 概率完备性与渐近最优性

概率完备性：在相应可行性、采样和局部连接假设下，采样数量增加时，找到可行解的概率趋于 1。

渐近最优性：在相应假设下，随着采样数量增加，最优已知解的代价以指定的概率意义趋近最优值。

两者回答不同问题，均不能直接解释为有限计算时间内必定找到全局最优解。[1][4]

3. 思考题

• RRT 为什么倾向于扩展尚未充分探索的区域？狭窄通道为何困难？
• RRT 与 RRT* 的目标、结构和理论保证有哪些区别？
• 几何空间中的直线连接为什么未必适用于带动力学约束的状态空间？

相关阅读：《Planning Algorithms》采样规划章节；Karaman 与 Frazzoli 的最优采样规划论文。[1][4]

七、第六阶段：多旋翼动力学与微分平坦性

本系列对应文章：从轨迹到推力与姿态、微分平坦性怎么判断

1. 姿态与刚体运动

重点掌握世界坐标系、机体坐标系、旋转矩阵、欧拉角、单位四元数，以及 $SO(3)$、$SE(3)$ 的基本含义。

理解

$$R^\top R=I,\qquad \det R=1,$$

并始终明确向量和角速度在哪个坐标系中表达。[5]

2. 多旋翼动力学

采用世界坐标系竖直向上、推力沿机体正 $z$ 轴的约定，忽略空气阻力时：

$$\dot p=v,\qquad m\dot v=-mg e_3+fRe_3,$$

$$\dot R=R\widehat\omega,\qquad J\dot\omega+\omega\times J\omega=\tau.$$

其中 $f$ 为总推力，$\tau$ 为机体系力矩，$J$ 为惯量矩阵，$\widehat\omega$ 为角速度对应的反对称矩阵。

理解欠驱动、姿态与平移加速度的耦合、总推力与电机分配之间的关系。按“双积分器 → 三积分器 → 刚体动力学 → 含阻力与执行器限制的模型”逐步比较模型保留和省略的约束。[6][12]

3. 微分平坦性

对标准四旋翼模型，重点学习以位置和偏航角为平坦输出的表示：

$$y=[p_x,p_y,p_z,\psi]^\top.$$

在适用模型与非奇异条件下，状态和输入可以由平坦输出及其有限阶导数恢复。[6][12]

由平移动力学直接得到

$$a_c=\ddot p+ge_3,\qquad f=m\|a_c\|,\qquad b_3=\frac{a_c}{\|a_c\|}.$$

进一步学习如何结合偏航要求恢复姿态，如何通过 jerk、snap 及偏航导数恢复角速度和力矩相关量。

4. 思考题

• 平坦性与线性化有什么区别？
• 为什么平坦输出不能任意指定为无约束的曲线？
• 零合加速度、姿态构造退化等奇异情形会带来什么问题？
• 为什么只限制速度和加速度，还不足以保证所有执行器输入可行？

相关阅读：《Modern Robotics》姿态相关章节；Minimum Snap 论文；含旋翼阻力的平坦性论文。[5][6][12]

八、第七阶段：连续轨迹表示与 Minimum Snap

本系列对应文章：从路径到轨迹、多项式轨迹、分段多项式轨迹、Minimum Jerk、Minimum Snap、Bézier 曲线、B 样条

1. 分段多项式与连续性

使用局部时间表示第 $i$ 段轨迹：

$$p_i(t)=\sum_{k=0}^{n}c_{i,k}t^k,\qquad t\in[0,T_i].$$

重点掌握端点状态、航点约束、段间连续性与多项式阶数之间的关系。区分 $C^0$、$C^1$、$C^2$ 等连续性要求，并结合平坦性理解不同导数连续性对飞行状态和输入的意义。[6][7]

2. Minimum Jerk 与 Minimum Snap

学习目标函数

$$J_r=\sum_{i=1}^{M}\int_0^{T_i}\|p_i^{(r)}(t)\|^2dt, \qquad r=3\ \text{或}\ 4.$$

在固定分段时间下，把代价写成二次型，并把端点与连续性约束写成线性形式：

$$\min_c\;c^\top Qc,\qquad A_{\mathrm{eq}}c=b_{\mathrm{eq}}.$$

重点推导代价矩阵、约束矩阵及其稀疏结构。加入一般避障约束或自由时间变量后，不能继续默认整个问题是凸二次规划。[2][6][7]

3. Bézier 与 B 样条

表示	重点理论
Bézier 曲线	Bernstein 基、多项式次数、端点性质、凸包性质、导数控制点
B 样条	基函数、次数、节点向量、节点重数、局部支撑、连续性、导数表示

需要区分“控制点是自由空间中的点”和“相关控制点位于同一个凸自由区域”。后者可以结合凸包性质构造轨迹包含的充分条件，前者本身不够。[8][9]

4. 时间归一化

对固定形状的归一化轨迹 $\bar p(s)$，令 $t=Ts$，则

$$\frac{d^rp}{dt^r}=T^{-r}\frac{d^r\bar p}{ds^r},$$

$$\int_0^T\|p^{(r)}(t)\|^2dt =T^{1-2r}\int_0^1\|\bar p^{(r)}(s)\|^2ds.$$

由此理解时间伸缩对导数与平滑代价的影响。该关系针对固定归一化形状的时间缩放；固定物理端点导数时，需要同时检查边界条件是否仍然成立。

5. 思考题

• 如何推导一段多项式的 snap 代价？
• 为什么平滑代价不等于飞行时间或实际电能消耗？
• 多项式系数、端点导数和样条控制点三种参数化各有什么特点？

相关阅读：Minimum Snap、高效多项式轨迹规划与 Fast-Planner 核心论文。[6][7][9]

九、第八阶段：动力学约束下的搜索

本系列对应文章：Kinodynamic A*

1. 从位置空间转向状态空间

以双积分器为例：

$$x=\begin{bmatrix}p\\v\end{bmatrix},\qquad \dot p=v,\qquad \dot v=u.$$

在恒定输入 $u$ 和传播时间 $\Delta t$ 下：

$$p^+=p+v\Delta t+\frac12u\Delta t^2, \qquad v^+=v+u\Delta t.$$

理解运动基元、控制离散化、状态传播、终端状态与可达性。位置相同但速度不同的状态，通常不能视为具有相同后续运动能力。

2. 重点算法与理论

Kinodynamic A* 是主线，重点掌握状态节点定义、运动基元扩展、代价累积、碰撞检查、约束检查、启发函数以及末端连接。[9]

进一步理解状态格点和动力学约束下的采样规划，并比较它们如何处理局部连接问题。[1]

3. 关键推导：最优控制启发函数

学习从放松障碍或部分约束的两点边值问题构造启发函数，例如：

$$\min_{u,T}\int_0^T\|u(t)\|^2dt+\rho T,$$

满足简化动力学及给定起终状态。

重点理解为何“放松后的最优代价”可能形成原问题的下界，以及这一结论如何依赖模型、目标和约束之间的包含关系。[9]

4. 思考题

• 几何 A* 后接平滑器，为什么不等价于动力学搜索？
• 控制采样和状态离散化如何改变可搜索的解集？
• 对简化模型可行与对完整多旋翼动力学可行有什么区别？

十、第九阶段：避障轨迹优化与安全飞行走廊

本系列对应文章：B 样条轨迹优化

1. 优化问题的基本形式

设 $\theta$ 为轨迹形状参数，$T$ 为分段时间，考虑

$$\min_{\theta,T}\; J_{\mathrm{smooth}}+\lambda_tJ_{\mathrm{time}}+\lambda_oJ_{\mathrm{obs}},$$

并根据建模选择加入边界、动力学和几何约束。

重点区分目标函数中的偏好、软罚项与必须满足的硬约束，理解权重、量纲、初值和局部极小值的影响。[2][9][11]

2. 基于距离信息的优化

设障碍距离为 $d(p)$，安全阈值为 $d_{\mathrm{safe}}$，可构造单点罚函数

$$\phi(p)=\big[\max(0,d_{\mathrm{safe}}-d(p))\big]^2.$$

在距离可微且罚项激活的位置：

$$\nabla\phi(p) =-2\big(d_{\mathrm{safe}}-d(p)\big)\nabla d(p).$$

进一步学习轨迹参数上的链式求导，以及距离场在最近障碍切换处的非光滑性。

对照理解 Fast-Planner 中的距离场与样条优化，以及 EGO-Planner 在不建立完整 ESDF 时获取避障信息的思路。ESDF-free 不等于不使用环境信息或不进行碰撞判断。[9][10]

3. 安全飞行走廊

用凸多面体表示自由空间中的局部安全区域：

$$\mathcal C_i=\{p\mid A_ip\le b_i\}.$$

重点学习凸分解、相邻走廊的交叠、轨迹段与走廊的对应关系，以及利用 Bézier / B 样条凸包性质构造包含约束。[8]

4. 两条路线的理论比较

比较维度	距离代价路线	安全走廊路线
几何信息	障碍距离、方向或局部引导信息	凸自由区域及其半空间表示
避障表达	常以软罚项或距离约束表达	常以轨迹包含约束表达
需要分析的问题	局部极小值、梯度有效性、罚项是否满足要求	走廊保守性、连通性、轨迹包含条件
不能直接推出的结论	代价低不等于整段连续轨迹安全	有走廊不等于任何参数化轨迹都自动位于其中

5. 思考题

• 有限权重罚项为什么不能自动保证零约束违反？
• 碰撞检查和碰撞约束有什么区别？
• 为什么固定时间下的子问题是凸的，整个时空联合优化问题却未必是凸的？[2][8][11]

十一、第十阶段：MINCO 与时空联合优化

1. MINCO 与 GCOPTER 的关系

MINCO 是面向最小控制努力轨迹的稀疏参数化，不是图搜索或采样扩展算法。GCOPTER 则是在相关参数化、几何约束处理和优化方法之上构建的多旋翼轨迹优化框架。[11]

2. 重点理论

内容	需要理解的问题
最小控制努力结构	哪些最优性条件限制了分段多项式的形式？
中间点与分段时间参数化	如何由较少参数恢复大量多项式系数？
带状线性系统	连续性与局部连接为何带来结构化求解？
梯度传播	目标对系数的梯度如何传播到中间点和时间？
几何约束变换	如何表达点或轨迹与可行区域的关系？
时空联合优化	形状和时间怎样共同影响平滑性与动力学约束？

3. 关键推导

围绕系数恢复关系

$$A(T)c=b(q),$$

学习隐式求导：

$$A\,dc=db-(dA)c.$$

再结合目标函数的链式法则，理解如何求取对中间点 $q$ 和时间 $T$ 的梯度，而不是显式构造全部中间 Jacobian。[11]

4. 思考题

• 参数化带来的结构性最优，与外层避障优化的最优性有什么区别？
• 为什么快速恢复系数，并不意味着非凸规划获得了全局最优解？
• 时间正值约束及边界条件在参数化中起什么作用？

相关阅读：《Geometrically Constrained Trajectory Optimization for Multicopters》。[11]

十二、第十一阶段：最优控制、轨迹跟踪与 MPC

1. 最优控制问题

学习有限时域最优控制的基本形式：

$$\min_{x,u,T}\;\phi(x(T))+\int_0^T\ell(x(t),u(t))dt,$$

满足动力学、边界条件、状态约束与输入约束。

先理解状态、控制、轨迹和价值函数的关系，再学习直接打靶、直接转录与直接配点。动态规划、Hamilton–Jacobi–Bellman 方程和 Pontryagin 极小值原理可作为进一步的理论扩展。[1][3]

2. LQR 与轨迹跟踪

在线性模型

$$\dot x=Ax+Bu$$

及二次代价下，重点掌握 Riccati 方程、状态反馈、可稳定性与可检测性条件。进一步理解沿参考轨迹线性化、误差动力学和时变 LQR。[3]

3. MPC

学习离散有限时域问题：

$$\min_{x_{0:N},u_{0:N-1}} \sum_{k=0}^{N-1}\ell(x_k,u_k)+V_f(x_N),$$

满足

$$x_{k+1}=f(x_k,u_k),\qquad x_k\in\mathcal X,\quad u_k\in\mathcal U.$$

重点理解滚动时域、状态反馈、预测长度、终端代价、终端集合、递归可行性和闭环稳定性。仅仅反复求解有限时域问题，不自动获得这些性质。[3]

4. 思考题

• 参考轨迹与反馈策略有什么区别？
• 开环轨迹可行，为什么不等于闭环执行安全？
• 模型误差、输入限制与跟踪误差如何改变规划结果的可执行性？

十三、第十二阶段：在线重规划与安全性理论

1. 滚动规划与轨迹拼接

重点学习局部目标、有限规划时域、已有轨迹复用、轨迹拼接连续性、计算延迟和状态预测。

尤其要区分重新规划时刻与新轨迹开始执行时刻：存在计算和执行延迟时，新轨迹的起始条件需要与实际接续状态一致。[9]

2. 区分四类性质

性质	理论含义
无碰撞	相对于所用地图与机器人几何模型，轨迹不进入障碍区域
动力学可行	满足所采用动力学模型及状态、输入约束
可跟踪	在给定控制器和误差条件下，参考运动可被足够准确地执行
安全	在明确的不确定性、环境与故障假设下，运动能够保持在规定安全集合内

这些性质需要分别分析，不能由其中一项直接替代其余各项。

3. 重点理论问题

学习连续时间碰撞与约束验证、制动轨迹、备用轨迹、终端安全集合与控制不变性。讨论未知环境时，应明确感知范围、最大速度、制动能力以及延迟之间的关系。

备用轨迹的安全意义不仅在于“存在一条可停止的曲线”，还在于当前状态能够接入该轨迹，且轨迹在已知条件和所用模型下保持可行。[13]

4. 思考题

• 一次优化可行与递归可行有什么区别？
• 离散约束满足与连续时间约束满足有什么区别？
• 安全结论依赖哪些地图、定位、模型和执行误差方面的假设？

相关阅读：MPC 讲义，以及 FASTER 关于未知环境与安全备用轨迹的论文。[3][13]

十四、主线之后的扩展方向

方向	建议追加的理论
动态障碍	时空状态空间、安全时间区间、运动预测与时间相关碰撞约束
不确定性规划	概率模型、机会约束、鲁棒优化、信念空间规划
主动探索	前沿、视点、可见性、信息增益与访问顺序优化
多机协同	联合状态空间、机间避碰、分布式优化与通信假设
安全控制	不变集、可达性分析、控制障碍函数
高动态飞行	阻力模型、执行器限制、姿态与角速度约束、时间最优问题

扩展方向不必一次覆盖。先理解它在主线问题上增加了哪些状态、信息、目标和约束，再学习相应算法。

十五、教材与论文阅读顺序

1. 基础教材

资料	对应阶段	阅读重点
LaValle：《Planning Algorithms》[1]	3–5、8	构型空间、离散搜索、采样规划、微分约束规划
Boyd、Vandenberghe：《Convex Optimization》[2]	1–2、7、9	凸性、二次规划、对偶、KKT、数值求解
Tedrake：《Underactuated Robotics》[3]	2、11–12	轨迹优化、LQR、MPC、可行性与稳定性
Lynch、Park：《Modern Robotics》[5]	6	坐标变换、旋转矩阵、刚体运动

2. 专题论文

按“轨迹生成 → 几何约束 → 动力学搜索与局部优化 → 高效时空优化”的顺序阅读：

顺序	论文或方法	要回答的理论问题
1	Minimum Snap [6]	平坦性如何连接轨迹导数与飞行状态？平滑代价如何构成优化问题？
2	Richter 等的多项式轨迹规划 [7]	边界导数和分段时间如何影响轨迹求解？
3	Safe Flight Corridors [8]	怎样把自由空间转化为可处理的轨迹约束？
4	Fast-Planner 核心论文 [9]	动力学搜索如何与 B 样条优化衔接？
5	EGO-Planner [10]	不构造完整 ESDF 时，避障梯度信息从何而来？
6	MINCO / GCOPTER 对应论文 [11]	如何借助参数化和梯度传播进行时空联合优化？

RRT* 理论论文 [4] 与第五阶段并行阅读；含阻力的平坦性论文 [12] 和 FASTER [13] 分别作为动力学与安全性扩展。

十六、学习时可以回顾的问题

学完一个算法后，可以用下面的问题整理笔记：

维度	需要回答的问题
问题定义	状态、控制、决策变量、起终条件和目标是什么？
建模假设	使用何种动力学、地图与信息假设？忽略了什么？
数学结构	问题是离散还是连续、凸还是非凸、静态还是时变？
核心机制	算法为什么能够找到可行解或改善已有解？
关键推导	哪些公式决定了搜索方向、优化梯度或约束形式？
理论保证	完备性、最优性、可行性、安全性分别在什么条件下成立？
适用边界	哪些模型误差、几何条件或信息变化会使结论失效？
方法联系	它是替换其他方法，还是与其他方法处于不同层次并可组合？

第一遍先弄清概念之间的联系，第二遍再回头细看推导与证明条件，之后按需要深入感兴趣的方向。

参考资料

以下资料作为各阶段的阅读入口；正文中的编号与此处对应。

[1] Steven M. LaValle. Planning Algorithms. 教材主页与免费全文：https://lavalle.pl/planning/。

[2] Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. 教材主页：https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/。

[3] Russ Tedrake. Underactuated Robotics. 在线讲义：https://underactuated.mit.edu/；轨迹优化章节：https://underactuated.mit.edu/trajopt.html。

[4] Sertac Karaman, Emilio Frazzoli. Sampling-based Algorithms for Optimal Motion Planning. https://arxiv.org/abs/1105.1186。

[5] Kevin M. Lynch, Frank C. Park. Modern Robotics. 教材与配套资源：https://modernrobotics.northwestern.edu/nu-gm-book-resource/。

[6] Daniel Mellinger, Vijay Kumar. Minimum Snap Trajectory Generation and Control for Quadrotors. https://ieeexplore.ieee.org/document/5980409。

[7] Charles Richter, Adam Bry, Nicholas Roy. Polynomial Trajectory Planning for Aggressive Quadrotor Flight in Dense Indoor Environments. https://dspace.mit.edu/entities/publication/6918c594-17bc-4fd3-8400-b03d55f280cb。

[8] Sikang Liu 等. Planning Dynamically Feasible Trajectories for Quadrotors Using Safe Flight Corridors in 3-D Complex Environments. 作者资料页：https://ke-sun.github.io/publication/liu-ral-2017/。

[9] Boyu Zhou 等. Robust and Efficient Quadrotor Trajectory Generation for Fast Autonomous Flight. https://arxiv.org/abs/1907.01531。

[10] Xin Zhou 等. EGO-Planner: An ESDF-free Gradient-based Local Planner for Quadrotors. https://arxiv.org/abs/2008.08835。

[11] Zhepei Wang 等. Geometrically Constrained Trajectory Optimization for Multicopters. https://arxiv.org/abs/2103.00190。

[12] Matthias Faessler, Antonio Franchi, Davide Scaramuzza. Differential Flatness of Quadrotor Dynamics Subject to Rotor Drag for Accurate Tracking of High-Speed Trajectories. https://arxiv.org/abs/1712.02402。

[13] Jesus Tordesillas 等. FASTER: Fast and Safe Trajectory Planner for Navigation in Unknown Environments. https://arxiv.org/abs/2001.04420。